Oslavte s námi Mezinárodní den matematiky: Matematika jako naděje pro lepší svět

3/14 (březen/14) je Mezinárodní den matematiky, po celém světě oslavovaný jako Den p (Pí Day). Číslo p (přibližně 3,14), které vyjadřuje poměr obvodu kruhu k jeho průměru, fascinuje lidstvo po tisíciletí. Jakožto iracionální číslo má nekonečný desetinný rozvoj bez jakékoli periody – je symbolem nekonečných možností, které nám matematika nabízí.

Téma roku 2026 vyhlášené Mezinárodní matematickou unií (International Mathematical Union): Matematika a naděje (Mathematics and Hope)

Matematika není pouhým počítáním, ale univerzálním nástrojem, který nám dává naději na vytvoření efektivnějšího a udržitelnějšího světa. Tam, kde jsme dříve byli limitováni možnostmi klasických materiálů a tvarů, nám dnes matematický design umožňuje dosáhnout mimořádné pevnosti při minimálním využití zdrojů. Matematika se tak stává skutečnou architekturou naší naděje na zdravější a rozumněji uspořádanou budoucnost, kde lidský důvtip vítězí nad nedostatkem.

Letošní ročník nese tedy silné poselství: Matematika a naděje. Propojení těchto dvou pojmů se může zdát na první pohled neobvyklé, ale je klíčem k řešení největších výzev naší doby. Matematika nám dává naději jasně porozumět realitě, sdílet společné definice, učit se efektivní spolupráci a hledat strategie, které jsou výhodné pro celé lidstvo i planetu.

Hlavním symbolem našich letošních oslav na katedře matematiky PdF UP je gyroid. Tento objekt je hmatatelnou odpovědí na otázku: „Můžeme vybudovat lepší materiální svět tím, že budeme minimalizovat náklady (spotřebu materiálu) a zároveň maximalizovat požadované vlastnosti (např. pevnost, hmotnost, design)?“ Dokázat více s méně zdroji (Doing More with Less).

Co je to gyroid?

Gyroid je speciální geometrický tvar tzv. trojnásobně periodická minimální plocha. Jde o matematický unikát, který neobsahuje žádné rovné čáry ani plochy, jen neustálé a dokonalé zakřivení. Je fascinující ukázkou toho, jak abstraktní rovnice (využívající funkce sinus a kosinus ve 3D prostoru) vytvářejí reálné, funkční a esteticky dokonalé objekty.

Jak si gyroid představit

• Vypadá jako spleť hladkých vlnících se stěn. 

• Struktura vytváří dva oddělené labyrinty, které se navzájem proplétají.

• Nemá žádné rovné linie ani zrcadlovou symetrii.

Proč je zajímavý

Gyroid má několik unikátních vlastností:

• velký povrch při malém objemu

• dobrá pevnost

• plynulé proudění kapalin nebo vzduchu

• lze ho nekonečně opakovat v prostoru

Kdo ho objevil

Gyroid objevil americký matematik, fyzik a počítačový vědec Alan Hugh Schoen v roce 1970, když pracoval pro NASA.

Kde se gyroid používá

Gyroidní struktury jsou dnes hodně důležité v různých oborech:

1. 3D tisk

Používá se jako výplň (infill) v programech pro 3D tisk. Je pevný a lehký zároveň, optimálně rozkládá síly.

2. Materiálové inženýrství

Vytváření ultralehkých, ale přesto pevných materiálů.            

3. Příroda

Podobné struktury se objevují i v biologii, například u křídel některých motýlů (Parides sesostris). Jejich šupinky na křídlech obsahují nanostrukturu gyroidu, která manipuluje se světlem – vytváří velmi intenzivní strukturální zelenou barvu (ne pigmentem, ale interferencí světla).

Zdroj: C. Pouya, P. Vukusic; Electromagnetic characterization of millimetre-scale replicas of the gyroid photonic crystal found in the butterfly Parides sesostris. Interface Focus, 2(5), 6 October 2012, 645–650. https://doi.org/10.1098/rsfs.2011.0091

4. Medicína

Kostní implantáty: Díky poréznímu tvaru, který připomíná spongiózní výplň lidských kostí, do něj živé buňky snadno vrůstají (osteointegrace), což zajišťuje pevné spojení s tělem.

Zdroj: Guo, L., Naghavi, S. A., Wang, Z., Varma, S. N., Han, Z., Yao, Z., Wang, L., Wang, L., & Liu, Ch. (2022). On the design evolution of hip implants: A review. Materials & Design, Volume 216, 110552, https://doi.org/10.1016/j.matdes.2022.110552

Tkáňové inženýrství: Slouží jako „lešení“ (scaffold) pro pěstování nových tkání, protože jeho propojené kanálky umožňují ideální proudění živin a kyslíku k buňkám.

Zdroj: Baumer V, Isaacson N, Kanakamedala S, McGee D, Kaze I and Prawel D (2024) Comparing ceramic Fischer-Koch-S and gyroid TPMS scaffolds for potential in bone tissue engineering. Front. Bioeng. Biotechnol. 12:1410837. https://doi.org/10.3389/fbioe.2024.1410837

5. Architektura a design

Používá se pro ventilační struktury, filtry nebo designové prvky.

V dnešní době se vlastností gyroidu hodně studují například pro vývoj baterií, filtrů, metamateriálů nebo leteckých konstrukcí.

Gyroid se matematicky generuje pomocí periodické trigonometrické rovnice v 3D prostoru. Nejčastější implicitní rovnice gyroidu je:

sin(x)cos(y) + sin(y)cos(z) + sin(z)cos(x) = 0

Tato rovnice popisuje plochu v prostoru, kde všechny body (x, y, z) splňují tuto podmínku.

Jak to funguje

Rovnice kombinuje funkce sinus a cosinus ve třech osách:

• sin(x)cos(y)

• sin(y)cos(z)

• sin(z)cos(x)    

Součet těchto tří členů musí být roven nule. Všechny body v prostoru, kde to platí, tvoří gyroidní plochu.

Protože sinus a cosinus jsou periodické funkce, struktura se automaticky opakuje ve všech směrech.

Varianta pro 3D tisk (tzv. gyroid infill)

Pro praktické použití (např. v slicerech pro 3D tisk) se často používá varianta s parametrem hustoty:

sin(x)cos(y) + sin(y)cos(z) + sin(z)cos(x) = t

kde t určuje tloušťku struktury nebo hustotu výplně.

Níže je jednoduchý Python příklad, který vygeneruje 3D model Gyroid a zobrazí ho. Používá metodu marching cubes ze knihovny scikit-image a vykreslení přes Matplotlib.

Python kód – generování gyroidu

import numpy as np

from skimage import measure

import matplotlib.pyplot as plt

from mpl_toolkits.mplot3d.art3d import Poly3DCollection

# velikost prostoru

n = 60

x, y, z = np.mgrid[-np.pi:np.pi:n*1j, -np.pi:np.pi:n*1j, -np.pi:np.pi:n*1j]

# gyroid funkce

gyroid = np.sin(x)*np.cos(y) + np.sin(y)*np.cos(z) + np.sin(z)*np.cos(x)

# marching cubes – extrakce povrchu

verts, faces, normals, values = measure.marching_cubes(gyroid, level=0)

# vykreslení

fig = plt.figure(figsize=(8,8))

ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')

mesh = Poly3DCollection(verts[faces], alpha=0.7)

ax.add_collection3d(mesh)

ax.set_xlim(0, n)

ax.set_ylim(0, n)

ax.set_zlim(0, n)

plt.tight_layout()

plt.show()

Instalace knihoven

pip install numpy matplotlib scikit-image

Co tento kód dělá

1. vytvoří 3D mřížku bodů

2. spočítá hodnotu funkce

sin(x)cos(y) + sin(y)cos(z) + sin(z)cos(x)

3. marching cubes najde plochu kde hodnota = 0

4. Matplotlib vykreslí výsledný 3D mesh

3D graf Gyroidu

Export gyroidu jako STL pro 3D tisk

Stačí přidat:

from stl import mesh

gyroid_mesh = mesh.Mesh(np.zeros(faces.shape[0], dtype=mesh.Mesh.dtype))

for i, f in enumerate(faces):

for j in range(3):

gyroid_mesh.vectors[i][j] = verts[f[j], :]

gyroid_mesh.save("gyroid.stl")

knihovna:

pip install numpy-stl

Pak můžeme STL soubor otevřít třeba v Blender nebo sliceru, jako je např. PrusaSlicer, a vytisknout.

Proč matematika přináší naději?

Gyroid není jen speciální matematický (geometrický) útvar, ale je to příklad, jak matematika může přispět k řešení problémů reálného světa:

• Naděje pro planetu (udržitelnost): V dnešním světě, kde čelíme nedostatku zdrojů, nám "matematika gyroidu" ukazuje cestu tím, že umožňuje stavět konstrukce, které jsou neuvěřitelně lehké, a přesto extrémně pevné. Od ultralehkých komponentů v letectví až po nové stavební materiály – matematika nám tak umožňuje šetřit přírodní zdroje, aniž bychom obětovali stabilitu a bezpečnost.

• Naděje pro zdraví (medicína): V biomechanice a lékařství se gyroid stal revolucí. Díky své pórovité struktuře, která věrně napodobuje vnitřní stavbu lidské kosti, se využívá k 3D tisku kostních implantátů. Tyto implantáty umožňují buňkám lépe prorůstat strukturou, což dává pacientům naději na mnohem rychlejší zotavení a kvalitnější život.

• Naděje skrze poznání: Alan Schoen objevil gyroid v roce 1970 čistě teoretickou cestou. Trvalo desítky let, než technologie 3D tisku dohnala matematickou teorii a umožnila nám tyto tvary skutečně využít. Je to důkaz, že investice do matematického vzdělávání a základního výzkumu jsou investicí do naší společné budoucnosti.

David Nocar, Jan Wossala, Tomáš Zdráhal