Den Pí (π) se slaví 14. března po celém světě. Pí (řecké písmeno p) je symbol používaný v matematice k reprezentaci konstanty – poměru obvodu kruhu k jeho průměru – což je přibližně 3,14. Pí bylo zatím vypočítáno na více než jeden bilion číslic za desetinnou čárkou. Jakožto iracionální a transcendentní číslo bude pokračovat desetinný zápis donekonečna bez jakékoliv periody.
Mezinárodní den matematiky letos nese název Matematika, které se můžete dotknout (Math You Can Touch). Letošní výzvou je konstrukce matematických prvků pomocí každodenních fyzikálních (trojrozměrných) předmětů. Předsednictvo výboru JČMF, nejstarší vědecké společnosti v ČR, vyhlásilo výzvu k fotografování 3D objektů, které propojují hmatatelné modely s matematickým myšlením.
3. měsíc v roce, 14. den v měsíci Březen, 14 = Mezinárodní den matematiky (Pí Day)
Vybrané modely budou publikovány na webu IDM v rámci uveřejněné výzvy Math You Can Touch 2025 Creative challenge.
Katedra matematiky PdF UP se do této výzvy také zapojila připravila příspěvek, s jehož podstatou se můžete seznámit a trochu si matematiku i vyzkoušet, popř. se jí doslova i dotknout.
Opravdu potřebujeme matematiku?
Zkuste například sami zjistit, kolik úhlopříček má pravidelný dvanáctistěn.
Začneme ale něčím jednodušším…
Kolik úhlopříček má krychle (= pravidelný šestistěn = hexahedron)?
Kdybychom si mohli na každou úhlopříčku ukázat a sáhnout, tak by se nám to počítalo snadněji. To nám umožní například 3D tisk.
Teď už je počítání snadnější: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16. Takže 16 úhlopříček!
Nyní se vrátíme k původnímu problému, tj. kolik úhlopříček má pravidelný dvanáctistěn (dodecahedron).
Z obrázku 5 je patrné, že pro spočítání všech úhlopříček je to nepřehledné a bude snad jednodušší si daný model opět vytisknout a pokusit se si jednotlivé úhlopříčky postupně „osahat“ a tímto způsobem si je spočítat.
Začni počítat: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25,… Ne, tuto už jsem počítal… Aha, tuto jsem vynechal… Vzdávám to, tolik trpělivosti nemám a už jsem se v tom ztratil!
Přestože se můžeme každé úhlopříčky dotknout, nebylo by jednodušší dát přednost matematickému výpočtu, který nám dá počet všech těchto úhlopříček?
Tedy mysli „matematicky“!
Jeden vybraný vrchol „spojím“ s každým dalším vrcholem – dostanu tak nejenom všechny úhlopříčky, ale i všechny hrany z tohoto vrcholu vycházející; proto od počtu všech „spojnic“ odečtu počet hran a dostanu počet úhlopříček vycházejících z tohoto jednoho vrcholu.
Kolik má dvanáctistěn vrcholů?
Stěny jsou tvořeny 12 pravidelnými pětiúhelníky a každý vrchol je společný třem pětiúhelníkům. Proto číslo 12 vynásobíme číslem 5 a vydělíme číslem 3, tzn. (12 × 5) / 3 = 20. Čili počet vrcholů dvanáctistěnu je 20.
Počet všech „spojnic“ v dvanáctistěnu je tedy roven 20 × 19 / 2 = 190 (neboť z každého z 20 vrcholů uděláme spojnici s 19 zbývajícími vrcholy, těch je 20 × 19. Každou spojnici takto ale počítám dvakrát, proto jejich počet potom musíme vydělit číslem 2.
Hrana dvanáctistěnu spojuje vždy vrchol s jeho třemi sousedními vrcholy. Proto je hran 30 (20 × 3 / 2, neboť z každého vrcholu uděláme spojnici se sousedními vrcholy, těch je 20 × 3, opět ale každou spojnici počítáme dvakrát, proto tento počet musíme opět vydělit číslem 2).
Nyní již máme požadovaný výsledek:
Úhlopříček pravidelného dvanáctistěnu je 190 - 30 = 160.
Takže, mysli „matematicky“ nejen v tento Pí Day a nespoléhej jen na fyzické modely, které jsou pěknou vizualizací, ale ne vždy ti pomohou každý problém vyřešit.
David Nocar a Tomáš Zdráhal
Comments